A láthatatlan univerzum - Szezám tárulj

Ezeréves privilégiuma minden mesemondónak, hogy története fonalát valamely útszéli fogadóban kezdje el legombolyítani, ahol sok utas verődik össze, és ahol mindegyikük természete mindenféle mesterség nélkül megmutatkozik. Nohát, a matematika se különb ennél, olyan tájakra kalauzolja el néha az embert, ahol sokszor fantomok ijesztgetik a békés vándort. Ezért azt mondom, a legjobb róla csak beszélgetni egy jó pofa sör mellet, ami nemcsak hogy jókedvre derít, de még kitárja előttünk a gondolkodás ablakát is. Kezdjünk is hozzá.

Szezám tárulj

Képzeletbeli utunk során rögtön a végtelen világába érkezünk meg. Ez nem is csoda, hiszen az első matematikai „fantom” nem más, mint maga a végtelen fogalma. Ennek elképzeléséhez bizonyos elvonatkoztatás szükséges, ezt pedig oly módon kell elvégezni, hogy az a legkisebb rejtett ellenmondást sem tartalmazza.
Ha elképzeljük valamely tárgyak „halmazát”, minden nehézség nélkül megállapíthatjuk e tárgyak számát. A gyakorlatban ez általában véges lesz, gondoljunk csak az asztalunkon lévő sörök számára. De vigyük ezt az absztrakciót egészen a végtelenségig, tételezzük fel, hogy vannak olyan asztalok, akarom mondani „halmazok” amelyekben a sörök, azaz a tárgyak száma végtelen. Ilyen például a pozitív egész számok, más néven a természetes számok halmaza. Ez a végtelen halmazok úgymond prototípusa. Na de, mi van akkor, ha két végtelen halmaz van a kezünkben? Feltételezhetjük e azt, hogy mindkét halmaz ugyan annyi számjegyet tartalmaz? Egyetlen útja van annak, hogy erre a kérdésre megtudjuk a választ, mégpedig az, hogy megszámláljuk őket. Úgy ahogy azt egy kosár alma és körte esetében tennénk meg. Kezdjük hát el kiszedegetni a halmazokból a körtéket és az almákat – akarom mondani a számjegyeket –, és tegyük félre, amit kiszedtünk, hogy lássuk, mi marad meg végül az egyik kosárban. A természetes számokat úgy fogjuk kiszedni, hogy értékük egytől felfele nőjön és közben egy sem maradjon ki. A számjegypárosok kiszegetése a mi esetünkben soha nem fog véget érni, de ha minden soron következő szemjegyünkhöz meg lesz a párja a másik kosárból, akkor minden „almának” meg lesz a maga „körtéje” és így nem marad más hátra, mint kijelenti: a számjegyek száma a két halmazban egyenlő volt.
Sajnos nem minden végtelen egyforma, a végtelen halmazok egész sora pontosan „ugyanannyi” egységből áll, mint a természetes számok halmaza, de vannak olyan halmazok is amelyekben az egységek mennyisége összehasonlíthatatlanul nagyobb. Ezekről bebizonyítható, hogy miközben mi a számlálási eljárásunk során szedegetjük ki a kosárból az összes természete számot, a másik kosárban annyi marad belőlük, hogy azt a természetes számokkal össze sem lehet vetni. Ez volt az első fantom, amellyel a matematikusok a halmazelmélet megalkotása során találkoztak. Bár George Boole már jóval korábban megtette a kezdőlépéseket, az absztrakt halmazelmélet első rendszeres kifejtésére egészen a tizenkilencedik század végig kellett várni, amikor George Cantor, német matematikus közzétette korszakalkotó eredményeit. Cantor elméletének alapjai a halmazok „aritmetikájára” épült. Így lehetségesé váltak olyan elképzelések is, miszerint hogy ha valamiből elveszünk min-dent mégsem fog elfogyni belőle semmi sem, számunkra ez legfeljebb a mesékből ismert. Ne is csodálkozzunk azon csöppet sem, hogy a halmazelmét megalkotója elborult elmével fejezte be életét, de munkássága fennmaradt az utókornak és a felső matematika egyik legnagyobb fegyverévé vált az idők során...