Bizonyára senki sem kételkedik abban, hogy a Möbius-szalag egyfajta sík, hiszen papírlapból készült. Minden valamirevaló papírlapot pedig be lehet festeni valamilyen színre, mondjuk kékre vagy vörösre. De ha megpróbáljuk ezt a műveletet, végigfut a hideg a hátunkon: a Möbius-szalag esetében ez keresztülvihetetlen!Ha az így kapott felületet elkezdjük kiszínezni, mondjuk matematika előadások unalmas pillanataiban az a meglepő dolog történik, hogy – megfordítás nélkül! – „mindkét oldalát” sikerült kifesteni. Valaki esetleg csak legyint rá, de a dolog matematikai jelentősége óriási. Most tegyünk fel magunknak egy kérdést: hány „éle” van ennek a csíknak? Ránézésre úgy néz ki, hogy kettő, de azért „számoljuk” csak meg. Húzzuk ceruzánkkal vonalat a szalag felső éle körül, és most döbbenünk rá, hogy a szalagnak nincsen kettő éle, csak egyetlen határvonala van, egy önmagába visszatérő görbe. Azaz topológiailag azonos a körrel. Ez a felismerés valószínűleg mindenkit megborzongat, így engem is, igyunk is rá egyet.
Most egy ujjba kísérletet hajtsunk végre, vegyünk a kezünkbe egy gumilabdát, vágjunk rajta egy lyukat és a már fent ismertetett módon varjuk hozzá a Möbius-szalagot. Hosszabb-rövidebb húzogatás és nyomogatás után a végeredmény az ábrán szépen látható, amihez egy-egyszerűbb módszer segítségével is eljuthatunk. Most ne gumilabdát, hanem egy gumicsövet vegyünk a kezünkbe, vágjunk az egyik oldalára egy lyukat és a tömlő egyik végét a nyíláson át a tömlő belsejébe dugjuk, majd belül végighúzzuk, egészen a tömlő másik végéig, a két véget pedig kerületük menté összeerősítjük. Az így nyert tárgyat elég már csak néhányszor meghúzogatni, nyomogatni, hogy a kívánt formát megkapjuk, az úgynevezett Klein-palackot. Ez nem más, mint a mi csodás szalagunk térbeli változata. Ennek megvan a maga „belseje”, és hozhatunk benne sört is a sarki talponállóból, de sajnos szomjan maradunk. És ez nagy hiba! Hamarosan rájövünk ugyanis, hogy a palacknak sem „belseje” sem „külseje” nincsen, hiszen egyetlen egy síkból áll, ami a belseje és külseje is egyszerre.
Gondolom, sokakban felvetődik a kérdés, mi lenne, ha nem csak egy lyukat vágnánk a gumilabdánkra, hanem többet is, és közülük néhányat bevarrnánk a Möbius-szalaggal? A kérdés nagyon érdekes, ugyanis az a valami ami a műveletek során létrejön nyújtható és húzható is és így topológiailag sok azonos forma jöhet létre. Amikor ezt a matematikusok fontolóra vették arra a következtetésre jutottak, hogy valamennyi téralakzat topológiailag azonos azzal a gömbbel, amelybe néhány kerek lyukat vágtak, majd közülük néhányat Möbius-szalaggal bevarrtak. Ez azt jelenti, hogy a Földön bármilyen téralakzat leírható ezzel a módszerrel (a lyukak nagysága és a gömb mérete nem fontos) vagyis két pozitív számmal, ahol ez első kivágott lyukak számát jelöli, míg a második a Möbius-szalaggal bevarrt lyukakét! A Klein-palack topológiai leírása például: 1,1 (egy kivágott, és egy bevarrt lyuk).
Ezért nem lehet megkülönböztetni például topológiailag a kávéscsészét és a fánkot, hiszen a fánk képlékeny és ezért könnyedén átalakíthatjuk egyfülű kávéscsészévé anélkül, hogy bárhol is elszakítanánk. Tehát az a matematikus, aki képtelen megkülönböztetni a fánkot a kávéscsészétől, az nem más, mint a topológus.
Lám mi mindent tárt már fel a fürkésző emberi elme, csodálatunk nem véletlen, hiszen a matematika birodalma óriási. Így hát néma csodálattal, bölcsen – hiszen elfogyott a sörünk – és halkan csukjuk be ismét az ablakot amelyen át bepillantást nyertünk ezen varázslatos világba. Abba a világba, amely csupán a beavatottak előtt tárja fel titkait, de mégis hagy mindenki számára még felfedezésre váró vidéket, hiszen a felfedezés öröme oly nagyszerű! A kérdés csak az, hogy a kedves olvasó bevállalja-e a hozzá vezető fáradtságos utat: igen vagy nem?
A rejtélyes Möbius-szalag és a Klein-palack döbbenetes elismerése késztette a matematikusokat: mindaz ami a világon van, topológiailag - a matematikának a folytonosság törvényszerűségével foglalkozó ága - két puszta számmal leírható!Hölgyeim most önökön a sor, vegyenek a kezükbe egy darabka kelmét és vágjanak a közepébe egy kerek nyílást, és így van, lyuk keletkezett rajta vagy ahogy a matematikusok és Jenő mondaná tréfásan: a teljes valóság részleges tagadása. Most pedig fedjük be a lyukat egy foltdarabbal, úgy ahogy a waldenokat is díszítik az ügyes leánykezek. A lyuk lefedésére elegendő feltétel az, ha a folt kerülete csak kicsit nagyobb, mint maga a nyílás, nos, hát vegyünk tűt és cérnát és a foltanyag kerülete mentén varjuk körbe a lyukat. A folt eltűnik hamarosan és felmerül mindenkiben a kérdés, hogy vajon mindez mire volt jó? Nos, ez csak gyakorlat volt ahhoz, hogy megmutassuk, miként lehet egy lyukat úgymond „betömni”. A kérdés az, lehetséges-e ezt a bonyolult műveletet másként is elvégezni? A válsz nemleges, azaz egy lyukat másféleképpen elfedni nem lehet, ha csak nem akarjuk a lyuk széleit összehúzni a folt nélkül. Valóban igaz ez az állítás? A topológia kimutatta, hogy nem. Van egy másik módja is a lyukak betömésének. A lyukat eltüntethetjük úgy is, hogy hozzávarrjuk a Möbius-szalagot, annyi követelményünk van vele szemben, hogy a „kerülete” (hiszen már tudjuk, hogy a Möbius-szalag topológiailag azonos a körvonallal) kicsit legyen nagyobb, mint az eltüntetendő lyuk kerülete. Ne is habozzunk tovább, hölgyeim öltésről öltésre varrják hozzá a lyuk kerületéhez a Möbius-szalagot. Csaknem minden simán megy egészen az utolsó öltésig, de ott azonban valami furcsa dolgot tapasztalunk. A megmaradt foltrészt csak abban az esetben tudjuk odaölteni, ha egészen felhasítjuk az anyag széléig a kimaradt lyukrészt és utána a segítő hasítékot összevarrjuk. No, sebaj, áldozatok nélkül nincsen siker. Ha mindezzel végeztünk meggyőződhetünk arról, hogy a lyuk eltűnt, megszűnt létezni, de az eredetileg lyukas anyaggal valami furcsa dolog történt. Próbáljuk csak befesteni az egyik oldalát kékre másikat pedig vörösre. Nem fog sikerülni, hiszen a foltozandó anyag egyig oldala eltűnt, nemhiába mondják sokszor, hogy a nők igazi boszorkányok. Nemcsak hogy eltüntették a női ujjak a kelme egyik oldalát, hanem – ó, borzalom! – csak egyetlenegy határoló élet hagytak meg a kettőből. Ez lenne hát a geometria első fantomja.
A kávéscsésze és a fánk
Most egy ujjba kísérletet hajtsunk végre, vegyünk a kezünkbe egy gumilabdát, vágjunk rajta egy lyukat és a már fent ismertetett módon varjuk hozzá a Möbius-szalagot. Hosszabb-rövidebb húzogatás és nyomogatás után a végeredmény az ábrán szépen látható, amihez egy-egyszerűbb módszer segítségével is eljuthatunk. Most ne gumilabdát, hanem egy gumicsövet vegyünk a kezünkbe, vágjunk az egyik oldalára egy lyukat és a tömlő egyik végét a nyíláson át a tömlő belsejébe dugjuk, majd belül végighúzzuk, egészen a tömlő másik végéig, a két véget pedig kerületük menté összeerősítjük. Az így nyert tárgyat elég már csak néhányszor meghúzogatni, nyomogatni, hogy a kívánt formát megkapjuk, az úgynevezett Klein-palackot. Ez nem más, mint a mi csodás szalagunk térbeli változata. Ennek megvan a maga „belseje”, és hozhatunk benne sört is a sarki talponállóból, de sajnos szomjan maradunk. És ez nagy hiba! Hamarosan rájövünk ugyanis, hogy a palacknak sem „belseje” sem „külseje” nincsen, hiszen egyetlen egy síkból áll, ami a belseje és külseje is egyszerre.
Gondolom, sokakban felvetődik a kérdés, mi lenne, ha nem csak egy lyukat vágnánk a gumilabdánkra, hanem többet is, és közülük néhányat bevarrnánk a Möbius-szalaggal? A kérdés nagyon érdekes, ugyanis az a valami ami a műveletek során létrejön nyújtható és húzható is és így topológiailag sok azonos forma jöhet létre. Amikor ezt a matematikusok fontolóra vették arra a következtetésre jutottak, hogy valamennyi téralakzat topológiailag azonos azzal a gömbbel, amelybe néhány kerek lyukat vágtak, majd közülük néhányat Möbius-szalaggal bevarrtak. Ez azt jelenti, hogy a Földön bármilyen téralakzat leírható ezzel a módszerrel (a lyukak nagysága és a gömb mérete nem fontos) vagyis két pozitív számmal, ahol ez első kivágott lyukak számát jelöli, míg a második a Möbius-szalaggal bevarrt lyukakét! A Klein-palack topológiai leírása például: 1,1 (egy kivágott, és egy bevarrt lyuk).
Ezért nem lehet megkülönböztetni például topológiailag a kávéscsészét és a fánkot, hiszen a fánk képlékeny és ezért könnyedén átalakíthatjuk egyfülű kávéscsészévé anélkül, hogy bárhol is elszakítanánk. Tehát az a matematikus, aki képtelen megkülönböztetni a fánkot a kávéscsészétől, az nem más, mint a topológus.
Lám mi mindent tárt már fel a fürkésző emberi elme, csodálatunk nem véletlen, hiszen a matematika birodalma óriási. Így hát néma csodálattal, bölcsen – hiszen elfogyott a sörünk – és halkan csukjuk be ismét az ablakot amelyen át bepillantást nyertünk ezen varázslatos világba. Abba a világba, amely csupán a beavatottak előtt tárja fel titkait, de mégis hagy mindenki számára még felfedezésre váró vidéket, hiszen a felfedezés öröme oly nagyszerű! A kérdés csak az, hogy a kedves olvasó bevállalja-e a hozzá vezető fáradtságos utat: igen vagy nem?
Bejegyzések
0 megjegyzés :
Megjegyzés küldése