Gumilepedő geometria

Itt az ideje, hogy képzeletbeli matematikai birodalmunkban másfele vegyük az irányt. Felejtsünk el most mindent, mindent, amit ábrázoló geometriából valaha is tanulhattunk. Mindent, ami mérhető, a hosszúságot, a szögeket, a kockát és más hasonló kellékeket. S ettől kezdve csak azt vegyük fontolóra, ami ezek után a geometriában megmarad. De marad-e még egyáltalán valami?

A választ erre a kérdésre Euler adta meg először, egy aprócska fejtörő által. A kelet-poroszországi Kö-nigsberg városa a Pregel-folyó két partján terül el. A folyóban két sziget található, amelyek egymással és a két parttal hidak kötnek össze. Lásd ábra.

A Pregel-folyó négy különálló részre bontja Königs-berg városát, ezek a részeket A, B, C és D jelöli a rajzon. Ezeket a városrészeket hét híd köti össze. A kérdés már adott, a válaszhoz viszont készítsük el a rejtvény egyszerűsített ábráját. Minden csúcspont-ból, ami nem a séta kezdő és végpontja, páros számú élnek kell kiindulnia. Valamennyi ilyen csúcsból tovább is kell tudni haladni ezért közülük az egy pontba befutókat párba kell tudnunk állítani. Azonban ebben az esetben minden csúcsból páratlan számú él fut ki, ezért ez nem lehetséges.

A königsbergi polgárok vasárnapi sétájuk során előszeretettel járták be a hidakat és vetődött fel bennük a kérdés, hogy vajon van-e olyan sétaút, amely minden hídon keresztülvezet, de mindegyiken csupán egyszer? A válasz nemleges, ne is törjük a fejünket tovább. Ezt Leonhard Euler bizonyította be 1735-ben. Euler döntő felismerése az volt, hogy a megoldáshoz vezető úthoz a szigetek és a hidak geometriai elrendezése nem vezet. A szigetek és a két folyópart reprezentálásához elegendő csupán egy-egy pont, amelyek között a hidak létesítenek kapcsolatot, és ezen kapcsolatoknál is csak az fontos, hogy az egyes hidak esetében fennállnak-e vagy sem. Ezek alapján próbálja meg mindenki kitalálni, hogyan is oldotta meg Euler ezt a kis fejtörőt.

Most képzeljük el fejben az ábécénk összes nagybetűjét minden díszíts nélkül. Ezek a betűk alakjukban különböznek egymástól, hiszen ezek alapján ismerjük fel őket írás és olvasás során, de éppen a betűalakot kell elfelejtenünk most! Hiszen a betűk, szögarányokkal, hosszúságokkal, számokkal leírhatóak, és mi ezeket a fo-galmakat nem is ismerjük, ne felejtsük el. Ezért az, I, J, U, M, N, V, C, L, W, S és a Z betűket azonosnak fogjuk tekinteni. Hogy miért? Ha megfigyeljük valamennyi betű egyetlen önmagába vissza nem térő vonalból áll, és másutt ér véget, mint ahol kezdődik. Hoppá! Észre se vettük és máris átléptük egy másik világba, hiszen a geo-metriától való elszakadás a topológia alapvető vonása.
Elképzelhetjük ezt úgy is, hogy valamely betűt felírunk egy rugalmas gumilapra, majd a gumilap húzko-dásával és nyomkodásával igyekszünk egy másik betűt alkotni a leírtból. Ez csak akkor sikerülhet, ha a kísérletet a topológiailag azonos betűk csoportján belül folytatjuk. Ezt a megfigyelésünket nem csak az ábécé nagybetűire alkalmazhatjuk, hanem más alakzatokra is kiterjeszthetjük.
A topologikus transzformációk precíz definíciójának kimondása Gauss-tanítvány Augustus Möbius ér-deme. Kezdetben a vizsgálatok szinte kizárólag a 2D-os felületekre szorítkoztak. Ekkor jött a nagy felfedezés, miszerint vannak olyan felületek, amelyeknek csak egy oldala van! A kedves olvasó is könnyen előállíthat ilyen csodálatos szerkezetet: elegendő, ha papírból csíkot vág ki és azt félfordulatnyit elcsavarja majd a két végét ragasztóval összeilleszti. Kész is a varázslat, előállt Möbius csodálatos szalagja! Egy újabb fantom került az olvasó kezébe, most a geometria birodalmából.